حدس های گلد باخ

گلد باخ رياضي دان الماني بود كه در سال 1750 در روسيه زندگي ميكرد
حدس او در مورد اعداد زوج:
هر عدد زوج بالاتر از 4 حاصل جمع دو عدد اول است.
48=11+37......................18=11+7......................20=17+3.......
و...
حدس او در مورد اعداد فرد:
هر عدد فرد بزرگتر از 5 را ميتوان به صورت حاصل جمع سه عدد اول نوشت.
6=2+2+5......................13=3+3+7.......

ریاضی و فاصله ها با سیارات

سال 1766 میلادی، يوهان تيتوس منجم آلمانی توانست رابطه ساده ای بیابد که با استفاده از آن می شد فاصله سیارات از خورشید را بدست آورد. چند سال بعد نیز دیگر منجم هموطن او، یوهان الرت بُد، این رابطه را مستقلا" دوباره کشف کرد.البته این رابطه را هر دو از طریق بازی با اعداد بدست آوردند و بدست آوری آن رابطه پایۀ علمی نداشت. امروزه این رابطه به رابطه تیتوس_بُد مشهور است. این رابطه بدین صورت است:
فاصله سیاره از خورشید(بر حسب فاصله متوسط زمین از خورشید)=0.4+(0.3*n)
... , n=0, 1, 2, 4, 8
اعدادبدست آمده با دقت خوبی با فاصله واقعی سیارات همخوانی داشت:

سیارات	عطارد	زهره	زمین	مریخ	؟؟؟	مشتری	زحل
جواب رابطه تیتوس_بُد	0.4	0.7	1.0	1.6	2.8	5.2	10
فاصله واقعی از خورشید	0.39	0.72	1.00	1.52	؟؟؟؟	5.20	9.54

برای فاصله 2.8 برابر فاصله زمین از خورشید در آن زمان سیاره ای یافت نشده بود. بسیاری از اخترشناسان عقیده داشتند که سیاره ای کوچک در این فاصلۀ بین مریخ و مشتری وجود دارد که کشف نشده است. جستجوی منظم نوار دایرِةالبروج برای یافت این سیارۀ مفقود از اواخر قرن هجدهم شروع شد و سرانجام در اولین روز قرن نوزدهم، یک منجم ایتالیایی به نام جوزپه پیاتزی، موفق شد جسم کوچکی را در حدود این فاصله از خورشید بیابد که آن را سِرِس نامید. بعد از آن نیز اجرام دیگری با همین فاصله از خورشید کشف شدند. اخترشناسان آن دوران این نظریه را پیش کشیدند که در آن فاصله از خورشید، بجای یک سیاره، تعداد زیادی سیارک وجود دارد که با کشف تعدادزیادی از این سیاکها در سالهای بعد این نظریه تایید شد.در حقیقت رابطه تیتوس_بُد محرک اصلی کشف سیارکها بود.
سالها بعد نیز سیارۀ اورانوس کشف شد که فاصله اش با فاصله پیشبینی شده توسط رابطه تیتوس_بُد نیز می خواند!(19.6 بنابر رابطه و 19.9 بنابر اندازه گیری). اما فاصله سیارات بعدی نپتون و پلوتو در این رابطه صدق نمی کنند. امروزه نظریه ای که به نظریه واهلش دینامیکی(Dynamical Relaxation) موسوم است توضیحی برای این رابطه یافته است. بنا به این نظریه، سیارات نخست در مدارات متفاوت تکوین یافتند؛ اما سپس به مداراتی منتقل شدند که نیروهای اغتشاشی گرانشی دیگر سیارات را به حداقل برسانند. نتیجه این کار از نظر ریاضی به روابطی شبیه رابطه تیتوس_بُد منجر می شود.

چگونه ریاضی را برای كودكان شیرین تر كنیم؟

چگونه ریاضیات را برای كودكان شیرین تر كنیم؟

  یكی از راه های علاقمند كردن دانش آموزان به ریاضی وتقویت آن ، روش محاسبه ذهنی است. بهترین تمرین ، در این راه عادت دادن دانش آ موزان به بازی با ارقام است . اگردانش آموزان زیاد به صورت ذهنی محاسبات ریاضی را انجام نمی دهند ، این است كه آنان را به این كار عادت نداده ایم. هر چند در كتاب درسی ریاضی ، بعضی از محاسبات جزئی ذهنی وجود دارد ، ولی بسیاری دیگر از محاسبه های ریاضی را می توان به صورت ذهنی انجام داد. 

 نخست جمع: اگر بخواهیم 235را با 661جمع كنیم، عمل جمع كردن را به وسیله نوشتن انجام نمی دهیم ، بلكه آن را در ذهن خود جمع می كنیم. برای این كار نباید مانند آنچه بوسیله نوشتن عمل می شود ، انجام دهیم ، یعنی از ارقام طرف راست ، به طرف چپ نمی رویم ، بلكه از طرف چپ به طرف راست می رویم ومی گوییم 600+200می شود 800،و60+30می شود 90، پس روی هم می شوند 890و1+5هم می شود 6بنابر این ، نتیجه نهایی می شود :896هنگامی كه مجموع رقم ها از ده بیشتر شود، طبعتا باید آن را به حساب آورد. وباید یك واحد به یكان های بالاتر ( كه قبلا جمع شده اند ) افزود. همچنین باید ضرب در 25را به طور ذهنی به دانش آموزان یاد بدهیم .برای این منظور ،كافی است كه در 100ضرب كنیم وسپس آن را بر چهار بخش كنیم .مثال 12ضرب در25می شود:1200:4، كه از آن 300به دست می آید . 70ضرب در 25می شود: 7000:4یا 3500:2كه از آن 1750به دست می آید .

 برای ضرب كردن هر عددی در 5 ، ابتدا در 10ضرب كرده وسپس بخش بر 2می كنیم . 186ضرب در 5=نصف 1860است كه می شود :930، این كار فوری انجام می گیرد وخیلی سریعتر است از اینكه بگوییم 6ضرب در 5مساوی 30وغیره ...

 اگر دانش آموزان را به محاسبه ذهنی عادت دهیم ، خواهیم دید كه كار در همه ی مفاهیم ریاضی ، آسانتر می شود . محاسبه ذهنی در عمل به دانش اموزان خدمات بزرگی می كند وبه شكل قابل ملاحظه ای موجب درك بهتر وسرعت عمل بیشتر فراگیران می گردد.

یادگیری ریاضیات برای کودکان

چرا ریاضیات را یاد می دهیم ؟

پاسخ این است که ریاضیات زندگی روزمره ، برای علم ، برای تجارت و برای صنعت مفید است . زیرا اولا" یک وسیله ارتباطی قدرتمند ، معتبر و بدون الهام است . ثانیا" ابزاری برای تعیین و پیش بینی است . قدرت آن در علائم ( سمبولهای ) آن ، که گرامر و تجزیه و ترکیبهای خاص خود را دارد ، نهفته است .

(( این گزارش )) همچنین مدعی است که ریاضیات باعث توسعه تفکر منطقی می شود و از جاذبه زیبایی شناسانه نیز برخوردار است .

ادامه نوشته

آموزش ابتدايي در شكل‌گيري مفاهيم رياضي

آموزش ابتدايي در شكل‌گيري مفاهيم رياضي

ادامه نوشته

عمر دیوفانت

 ديوفانت از رياضي دانان يونان باستان بوده كه بويژه روي مساله هاي مربوط به عدد صحيح كار ميكرده است.پس از در گذشت ديوفانت شاگردانش نوشته زير را بر روي سنگ گور او حك كردند:
﴿﴿ اينجا ارامگاه ديوفانتوس است.او عمري طولاني داشت يك ششم سالهاي عمرش را در كودكي گذراند , پس از ان يك دوازدهم سالهاي عمرش را در جواني سپري كرد , انگاه پس از انكه يك هفتم از سالهاي عمرش هم گذشت ازدواج كرد. پنج سال پس از انكه ازدواج كرد, همسرش براي او يك پسر اورد.سرنوشت چنين بود كه اين پسر پيش از او درگذرد در حالي كه تعداد سالهاي عمرش نصف تعداد سالهايي بود كه پدرش زندگي كرد.﴾﴾ديوفانتوس چند سال عمر كرد و مرگ او چند سال پس از در گذشت پسرش روي داد؟

-> جواب:هر گاه طول عمر ديوفانت ۱ فرض شود تعدا سالهاي كه پيش از ازدواج گذرانده يك ششم بعلاوه ۱ دوازرهم بعلاوه يك هفتم سال ميشود و وقتي عدد صحيح است كه فرض برابر با مضربي از كوچكترين مضرب مشترك عددهاي 6,12 و 7 يعني مضربي از 84 باشد.اما از مضربهاي صحيح 84 تنها خود 84 پذيرفتني است.بنابراين:ديوفانت 84سال و پسرش 42 سال عمر كرده است و با محاسبه كسرهايي از عمرش كه ياد شده اند به دست خواهد امد كه پسرش وقتي زاده شده كه او 38 سال داشته و 4 = (42+38) - 84 سال پس از مرگ پسرش در گذشته است.

مساله اینشتین

 این مساله را انشتین در قرن نوزدهم مطرح کرده  و گفته است 98 درصد مردم دنیا قادر به حلش نیست. ممکن است ظاهر مساله خسته کننده باشد ولی در باطن نیست:
1- در یک خیابون 5 خانه وجود دارد که با پنج رنگ متفاوت رنگ شدند.
2- در هر خانه يک نفر با ملیت متفاوت با بقیه زندگی میکند.
3- هر کدوم از 5 صاحبخونه يک نوشیدنی متفاوت, یه مارک سیگار متفاوت دوست دارد و يک حیوان متفاوت در خانه نگهداری میکند
سوال این است که چه کسی در خانه ماهی نگهداری میکنه با این شرطها که:
1- انگلیسه خونه اش قرمزه
2- سوئدیه تو خونه سگ نگه میداره
3- دانمارکیه چای دوست داره
4- خونه سبز رنگ سمت چپ خونه سفیده
5- صاحب خونه ی سبز رنگ قهوه دوست داره
6- کسی که سیگار پالمال میکشه پرنده نگهداری میکنه
7- صاحب خونه زرد رنگ سیگار دانهیل میکشه
8- مردی که تو خونه وسطی زندگی میکنه شیر دوست داره از نوشیدنی ها(نه حیوونا)
9- نروژیه تو اولین خونه زندگی میکنه
10- مردی که بلندز میکشه همسایه اونیه که گربه نگهداری میکنه
11- مردی که اسب نگهداری میکنه همسایه مردیه که دانهیل میکشه
12- مردی که بلو مستر میکشه آبجو دوست داره(ببخشید ماءالشعیر)
13- آلمانیه سیگار پرنس میکشه
14- نروژیه همسایه اونیه که خونه اش آبیه
15- مردی که بلندز میکشه همسایه ای داره که آب دوست داره بین نوشیدنیها
حالا نگین زمان انیشتین این سیگارها نبوده. لابد یه بدبختی اومده به جای ایکس و ایگرگ این چیزها رو گذاشته که مساله طبیعی تر بشه.

آمارگیر

 یه آمار گیر میره در یه خونه ای و راجع به خودش و بچه هاش سوال میکنه.

طرف میگه: "برای سن بچه هام یه معما میگم باید حلش کنی تا سنشون رو پیدا کنی. من سه پسر دارم که حاصل ضرب سن اونا میشه 36 و حاصل جمع سنشون 2 تا از شماره پلاک همسایه سمت راستی کمتره".

آمار گیره یه خورده فکر میکنه و میگه: "با این اطلاعات نمیتونم حلش کنم میشه یه راهنمایی بکنین".

صابخونه میگه: "پسر بزرگترم حلوا شکری عقاب خیلی دوست داره!!!" و آمارگیره مساله رو حل میکنه.

 حالا شما میتونین بگین سن بچه ها به ترتیب چند بوده؟

اگه اعدادی که حاصل ضربشون میشه 36 رو بنویسین میشه این لیست:
1  1  36 -> که حاصل جمعشون میشه 38
1  2  18 -> 21
1  3  12 -> 16
1  4  9  -> 14
1  6  6  -> 13  *
2  2  9  -> 13  *
2  3  6  -> 11
3  3  4  -> 10

آمارگیر پلاک خونه همسایه رو میدیده ولی گفته با این اطلاعات نمیتونه حلش کنه. پس حتما ابهامی تو قضیه بوده و این ابهام تنها از دو سری 1 6 6 و 2 2 9  ناشی میشه که جمع هر دو 13 میشه. حالا از این که صابخونه گفته "پسر بزرگترم" میتونیم نتیجه بگیریم که از بین پسراش یه پسری باید سنش از همه بیشتر باشه و یعنی دوقلو نداشته باشه. پس جواب میشه 2 2 9.
 به جای حلوا شکری عقاب هم هر چیز دیگه ای میتونه باشه. 

معرفي گرايش هاي رياضي

  رياضيات هنري است باستاني واز همان آغاز از جمله ذهني ترين و در عين حال علمي ترين تلاشهاي آدمي بوده است. يعني از همان 1800سال پيش از ميلاد كه بابليها در زمينه خواص تجريدي اعداد به پژوهش پرداختند، رياضيات در كنار جنبه هاي ادراكي نظري ،به صورت ابزار كه هر روز براي مساحي زمين، دريانوردي وساختن بناهاي بزرگ مورد نياز بود،به كار ميرفت.

امروزه نيز به همين منوال است وشايد به همين دليل ما در رشته رياضي با دو گزايش رياضي محض وكاربردي روبهرو هستيم.اما آيا ميتوان اين دو گرايش را به طور كامل از يكديگر مجزا كرد؟آيا ميتوان گفت كه رياضي محض تنها يك فعاليت ذهني است وهيچ كاربردي ندارد و در كنار آن رياضي كاربردي، كاربرد رياضيات را در علوم وفنون مختلف بررسي ميكند وآيا طبق نظر «هارولدهاردي» رياضيدان بزرگ انگليسي، تنها بايد به خاطر زيبايي رياضيات ( رياضيات محض ) به آن پرداخت واين علم هيچ ارزش علمي ندارد ؟

بايد گفت كه امروزه چنين ديدگاهي قابل قبول نيست بلكه به اعتقاد رياضيدانها حتي ذهني ترين حوزه هاي رياضيات مثل هندسه، نظريه اعداد ومنطق نيز اهميت علمي بسياري دارد وبه همين دليل نببايد رياضيات را به دو گرايش محض وكاربردي تقسيم كرد.

ويژگي ها و توانمندي هاي لازم براي موفقيت در رشته رياضي:

رياضيدان، كاشف متهور ناشناخته ها است. عاشقي است كه با شوري فراوان پا در وادي ناشناخته ها ميگذارد وبا تلاشي تحسين بر انگيز وبه كمك ابزا رهايي كه در اختيار دارد ، تاريكيهاي راه را روشن كرده وراه را براي ديگران هموار ميسازد.به همين دليل يك رياضيدان قبل از هر چيز بايد جرات قدم گذاري در وادي ناشناخته ها را داشته باشد. همچنبن بايد با صبرو حوصله زياد وابتكار وخلاقيت مسائل وقضاياي دانش رياضي راحل كند.

نکاتی جالب از زندگيه آلبرت اينشتن

پیشرفت آموزشي آلبرت در دوران كودكي بسيار كند بود و پيش از سه سالگي به سختي سخن مي گفت .پدر و مادر او فكر مي كردند كه او احتمالا عقب مانده ذهني است و به اين خاطر سخت نگرانش بودند.سرانجام سخن گفتن را آموخت؛ اما وقتي در برابر پرسشي قرار مي گرفت، به سختي پاسخ مي داد: ابتدا جمله اي را كه مي خواست بيان كند چند بار زيرلب زمزمه مي كرد و بعد يكباره و با صدايي بلند ادا مي كرد.

- آلبرت در خانواده اي يهودي به دنيا آمد.اينشتين در كودكي تحت تأثير آموزش هاي ديني پدر و مادرش قرار گرفت اما پس از چند سال، آنها را رها كرد. آلبرت اينشتين با آنكه، ديگر باوري به دين يهود نداشت، اما به خاطر آزار يهوديان توسط فاشيست هاي آلماني و نيز به خاطر آنكه به عنوان يك انسان دوبار از حق شهروندي محروم شده بود، ايجاد كشور اسرائيل را مورد تاييد قرار داد.

- پدر و مادرش تصميم گرفتند كه او را به دبستان نفرستند؛ و در خانه آموزش ببيند؛ اما اين كار نيز ثمري به همراه نداشت. وقتي روز اول، معلم خصوصي كه خانمي بود به منزلشان آمد، آلبرت با پرتاب صندلي از او استقبال كرد.

- معمولا در صندلي آخر كلاس مي نشست و علاقه اي به آنچه در كلاس مي گذشت، نشان نمي داد. با اين وجود به درس هاي رياضي و علوم عشق مي ورزيد.به طوركلي نظر آموزگاران درباره او را مي توان در اين جملات خلاصه كرد: «آلبرت جان، تو چيزي بشو نيستي، در مشق و كتاب آينده اي نداري و بهتر است كاري درست و حسابي براي خود پيشه كني و كار حساب و مدرسه را رها كني.»

- در اواخر زندگي هميشه لباس بسيار معمولي مي پوشيد و از پوشيدن لباس هاي رسمي خودداري مي كرد. در ديدار با رئيس جمهور آمريكا لباسي كاملا عادي پوشيده بود و جورابي به پا نداشت. وقتي خبرنگاران پرسيدند كه چرا هيچ وقت جوراب نمي پوشد؛ پاسخ داد: انگشت هاي پايم جوراب ها را سوراخ مي كند. خريدن جوراب هم دردسر بزرگي است. اين است كه به كلي از خير پوشيدن جوراب گذشته ام.

زندگی صحنه ی یکتای هنرمندی ماست هر کسی نغمه ی خود خواند و از صحنه رود صحنه پیوسته بجاست خرم آن نغمه که مردم بسپارند به یاد